Área da Esfera

 
 

 

 

 

 

 

Artigo de Renato J. Costa Valladares

 
 

RIO [ ABN NEWS ] — De vez em quando acontece na vida de qualquer professor de Matemática que uma conversa amena com amigos evolua para uma contestação sobre um fato matemático mal compreendido.Uma contestação comum é a área da esfera.Hoje vamos tentar escreveralguma coisa que ajude a entender este fato.Tomara que sejamos bem sucedidos.

Tomaremos por base os livros de Matemática do ensino médio que ensinam que a área de uma esfera de raio r é “4 vezes pi vezes o quadrado de r”.Nunca é demais lembrar que pi é um número pouco maior que 3, obtido pela divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro. Há recursos matemáticos que garantem que esta divisão independe dos comprimentos da circunferência e do seu diâmetro. Isto significa que pi é um número que não varia, diferindo de números que variam, como é o caso de velocidade, idade, dinheiro, temperatura e tantos outros. O número 4 também é constante, seguindo-se daí que o produto “4 vezes pi” é constante.

Por outro lado, o raio r é um número que varia. Esta variação dá origem ao tamanho de diversas bolas com as de Futebol, de Basquete, dos imensos gasômetros e das pequenas contas. Nós todos moramos em uma bola enorme chamada Terra. Entretanto a Terra é muito pequenaem comparação com outros astros.

Como o raio é o único que varia, ele é a única grandeza com possibilidades de medir as dimensões das esferas. São três estas dimensões. O círculo máximo (ou geodésica) que tem dimensão 1. Na geometria da esfera a geodésica é o caminho mais curto entre dois pontos. Isto é, a geodésica está para a esfera assim como a reta está para o plano. Na esfera terrestre as geodésicas desempenham papel importanteque é feito por diversos profissionais. Na medição da geodésica o raio da esfera aparece com potência 1 e a Matemática ensina que o comprimento do círculo máximo é “2 vezes pi vezes o raio r”.

Outra dimensão é a área. Ela cresce em duas direções e, como vimos acima o raio r da esfera é elevado ao quadrado (potência 2). A área também desempenha papel importante na esfera terrestre e o trabalho com esta dimensão ocupa milhões de profissionaismundo a fora. Isto é feito desde espaços pequenos como um campo de Futebol até espaços grandes como continentes e a própria Terra. Nos espaços menores a curvatura da Terra é irrelevante e a área pode ser calculada como se fosse plana. Nos espaços maiores esta curvatura faz parte dos cálculos.

Finalmente a dimensão volume cresce em três direções. Por isto o raio da esfera aparece ao cubo na fórmula do volume que é “4 terços vezes pi vezes o cubo do raio r”.

Esperamos que o leitor tenha compreendido o fator variável “quadrado de r” no cálculo da área da esfera. Vamos agora explicar a parte fixa “4 vezes pi”. Para isso vamos imaginar um cubo de madeira em que o comprimento do lado é um número L. O cubo tem 6 faces e a área de cada uma é “L ao quadrado”. Isto significa que a área do cubo é “6 vezes o quadrado de L.

Pensemos em um cubo igual ao primeiro, mas em vez de calcular a área vamos imaginar que um artista plástico usou uma ferramenta adequada para desbastar o cubo. O objetivo do desbaste era transformar o cubo em uma esfera, cujo diâmetro tivesse o mesmo comprimento que o lado L do cubo.

Se dividirmos L ao meio obtemos o raio da esfera, que é r = L/2. Isto é equivalente a 2r = L. Trocando L por 2r, a área de cada face do primeiro cubo se escreve “2r ao quadrado” que é “2r vezes 2r = 4 vezes r ao quadrado”. Isto é, o diâmetro ao quadrado é igual a “4 vezes o raio ao quadrado”. Consequentemente a área do cubo é “4 vezes 6 vezes r ao quadrado”.

Comparando a área do cubo acima com a da esfera – “4 vezes pi vezes r ao quadrado” – vemos que o número 6 que aparece na área do cubo é trocado, na esfera, pelo número pi. Como pié pouco maior que 3, podemos concluir que a área da esfera é pouco maior que a metade área do cubo cujo lado coincide com o diâmetro da esfera. Acreditamos que esta comparação ajude a compreender a área da esfera.

O leitor que quiser pode falar com o autor pelo e-mail rjcvalladares@gmail.com

Renato J. Costa Valladares, Professor e Escritor, é Doutor em Ciências e Mestre em Matemática.